Biografía de Fibonacci

Leonardo de Pisa (1170-1240) ,también llamado Leonardo Pisano, Leonardo Bigollo o simplemente Fibonacci, fue un matemático italiano. Difundió en Europa la utilidad práctica del sistema de numeración indo-arábigo frente a la numeración romana, y fue el primer europeo en describir la sucesión numérica que lleva su nombre.

El apodo del padre de Leonardo, era Bonacci (simple o bien intencionado). Leonardo recibió póstumamente el apodo de Fibonacci (hijo de Bonacci).

Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo, regresando hacia el 1200.

En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber abaci. Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la notación posicional, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo entre el público culto, teniendo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.

En el año 1225 publicó su cuarto libro, y el más famoso de todos ellos: Liber Quadratorum (El libro de los números cuadrados),se propuso encontrar un cuadrado tal que si se le sumaba o restaba el número cinco diera como resultado en ambos casos números cuadrados. 

Fibonacci comienza con los rudimentos de lo que se conocía de los números cuadrados desde la antigua Grecia y avanza gradualmente resolviendo proposiciones hasta dar solución al problema de análisis indeterminado que le habían lanzado como desafío.

En la parte original de la obra introduce unos números que denomina congruentes y que define, en terminología actual, como ${\displaystyle c=m\times n(m^{2}-n^{2})}$, donde ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ son enteros positivos impares tales que ${\displaystyle m>n}$. De esta forma, el menor de ellos es ${\displaystyle 24}$. Enuncia y muestra que el producto de un número congruente por un cuadrado es otro número congruente.Sus demostraciones son del tipo retórico y usa segmentos de recta como representación de cantidades.

En 1240, la República de Pisa lo honra en agradecimiento a sus servicios asesorando en materias de contabilidad a la ciudad y enseñado a los ciudadanos. No existen más referencias sobre su vida después de esta fecha, se cree que falleció con posterioridad en la ciudad de Pisa.

Sus aportes a las matemáticas: 

• Libro del Ábaco: Fue escrito en 1202 y revisado y considerablemente aumentado en 1228. Se divide en quince capítulos. Un capítulo importante está dedicado a las fracciones graduales, de las que expone las propiedades. En ellas basa una teoría de los números fraccionarios y, después de haberlas introducido en los cálculos de números abstractos, las vuelve un instrumento práctico para la obtención de números concretos.

• Geometría práctica: Está dividido en siete capítulos en los que aborda problemas de geometría dimensional referente a figuras planas y sólidas. 

• Ramillete de soluciones de ciertas cuestiones relativas al número y a la geometría: Comprende quince problemas de análisis determinado e indeterminado de primer grado. 

• El Libro de los Números Cuadrados: Consta de veinte proposiciones. Estas no consisten en una recopilación sistemática de las propiedades de los números cuadrados, sino una selección de las propiedades que llevan a resolver un problema de análisis indeterminado de segundo grado.

Sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión comienza con los números 0 y 1, y a partir de estos, "cada término es la suma de los dos anteriores", es la relación de recurrencia que la define.

A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemática y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en las flores de alcachofas y girasoles , en las inflorescencias del brécol romanesco y en la configuración de las piñas de las coniferas. De igual manera, se encuentra en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos, como el nautilus.

Secuencia en la naturaleza

La espiral de Fibonacci: una aproximación de la espiral aurea generada dibujando arcos circulares conectando las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados a los valores de la sucesión; adosando sucesivamente cuadrados de lado 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.

Los números de Fibonacci quedan definidos por la ecuación: 

Partiendo de dos primeros valores predeterminados:

Se obtienen los siguientes números:

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

para 

Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es usual en Matemática discreta.

Es importante definir  para que se pueda cumplir la importante propiedad de que:

 divide a , para cualquier .

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza: 

La secuencia de Fibonacci se encuentra en múltiples configuraciones biológicas, donde aparecen números consecutivos de la sucesión, como en la distribución de las ramas de los árboles, la distribución de las hojas en un tallo, los frutos de la piña tropical, las flores de la alcachofa, en las piñas de las coníferas, o en el "árbol genealógico" de las abejas melíferas. Sin embargo, también se han hecho muchas invocaciones infundadas a la aparición de los números de Fibonacci aprovechando su relación con el número áureo en la literatura popular.

Relación entre la sucesión de Fibonacci y el número áureo

El número áureo

El número áureo, conocido también como razón áurea, razón dorada, razón extrema y media, media áurea y divina proporción, es un número irracional y se representa con la letra griega φ (fi). Se define como la relación o proporción entre dos segmentos de una recta, que están en la misma proporción que la suma de ambos segmentos y el segmento más largo. Es decir, si los segmentos son a y b, y a>b, entonces φ = a/b = (a+b)/a. La solución positiva de segundo grado es 1.61803398874989… Esta proporción se encuentra en algunas figuras geométricas y en la naturaleza. A este número se le atribuye un carácter estético e incluso místico.

El rectángulo áureo es un rectángulo cuyos lados están en la razón áurea (fi). 

Según el astrónomo Kepler, si vamos dividiendo números de Fibonacci consecutivos cada vez mayores estos se acercan al número 1,618033… que es el número áureo.La división entre los números de Fibonacci se acercan asintóticamente al número áureo, por ejemplo si tomamos la tabla de Fibonacci desde: 21, 34, 55, 89, 144… tendríamos que la división de la cual habla Kepler sería así: 34/21 = 1.69047619 , 55/34 = 1.67647059, 89/55 = 1.6181818, 144/89 = 1,617977528. El siguiente gráfico muestra cómo estas divisiones se acercan al número áureo.De esos cálculos se puede comprobar efectivamente que el número áureo se relaciona con la sucesión de Fibonacci siendo este un punto medio entre los números que entrega la sucesión.

Fibonacci en Lenguaje C++

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int fibonacci(int n)
{
if (n>2)
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
else if (n==2)
return 1;
else if (n==1)
return 1;
else if (n==0)
return 0;
}

int main(void)
{
int num;

for (num=0; num<=20; num++)
{
printf("%d\n", fibonacci(num));
}

system("PAUSE");
return 0;
}

Pitágoras: Biografía

  Pitágoras nació en la isla de Samos, Grecia, en el 570 a.C y murió en Metaponto en eel 469 a.C. Fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría, la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, a la teoría de la música o a la astronomía.
     Es el fundador de la Escuela pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía facional en Occidente.

La Escuela Pitagórica

Escuela pitagórica fundada por Pitágoras

   No se ha conservado ningún escrito original de Pitágoras. Se le atribuye la teoría de la significación funcional de los números en el mundo objetivo y en la música; otros descubrimientos, como la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado de lado mensurable o el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos, fueron probablemente desarrollados por la Escuela pitagórica.

   La Escuela Pitagórica, fundada por Pitágoras, fue una asociación religiosa y política además de filosófica. Para acceder a ella era necesario abstenerse de ciertos alimentos y observar el celibato (permanecer soltero).  En los grados más altos, los pitagóricos vivían en completa comunidad de bienes. Las enseñanzas de  los pitagóricos se transmitían por vía oral y todo se atribuía al venerado Pitágoras, fundador de la escuela. La escuela se fue transformando en una hermandad con ritos y ceremonias secretas de las que se sabe muy poco. Este secretismo se extendía a todo lo que rodeaba la escuela, incluidos sus trabajos y descubrimientos matemáticos, por eso no se tiene certeza sobre qué descubrieron y quién lo descubrió. La doctrina de los pitagóricos tenía esencialmente carácter religioso, fundamentalmente consistió en que la sustancia de las cosas era el número. La naturaleza, las estrellas, todo estaba basado en relaciones numéricas enteras o fraccionarias.

    La secta acabó teniendo un carácter político lo que provocó enfrentamientos, persecución y por fin su práctica ruina con el exilio y un cierto grado de dispersión. Parece ser que fue el exilio lo que provocó que se abrieran en cierta medida y que se conocieran gran parte de sus conocimientos.

  En matemáticas fueron importantes: los números, sus relaciones, la aritmética y la geometría. También la música, en la que veían la influencia de los números al obtener diferentes sonidos relacionados entre sí al dar diferentes tamaños a las cuerdas de una lira. Pitágoras y los pitagóricos tuvieron gran influencia en el desarrollo posterior de las matemáticas. 

Las matemáticas de los pitagóricos

A los pitagóricos, se les atribuyen numerosos e importantes descubrimientos en el terreno de las Matemáticas. Vamos a destacar algunos:

• El teorema de Pitágoras: 

    Establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática. 

    Si en un triángulo rectángulo hay catetos de longitud  y , y la medida de la hipotenusa es , entonces se cumple la siguiente relación:

• Los Números irracionales:

Como consecuencia del Teorema de Pitágoras, también se les considera descubridores de los números irracionales. Estos números contradecían la doctrina básica de la escuela: habían descubierto que existían números "inexpresables",  como   , que no eran ni enteros ni fraccionarios.

• Clasificación de los números:

La obsesión por los números y la adoración que les profesaban, condujeron a los pitagóricos a un estudio minucioso de los números. Establecieron diversas clasificaciones, entre otras la distinción entre pares e impares tal y como lo hacemos hoy, también otras más curiosas. Hemos elegido algunas de ellas y te proponemos que las pienses para divertirte un rato:
         -Números triangulares: Son números naturales que se pueden expresar en forma de triángulo, tal y como los de la figura siguiente:

-Números cuadrados: De igual forma que los anteriores, son números que se pueden expresar en forma de cuadrados como en la figura siguiente:  -Números perfectos: Son los números que son iguales a la suma de todos sus divisores excepto él mismo, por ejemplo, el 6 es un número perfecto puesto que 6=1+2+3. 

• Los sólidos cósmicos:

Sólo existen cinco poliedros regulares, que los pitagóricos veneraban y que llamaban sólidos cósmicos aunque fue Euclides el que demostró que no hay más poliedros regulares. Estas cinco figuras geométricas fueron admiradas, entre otros,  por Platón que pensó que representaban los elementos fundamentales que constituían el mundo: AIRE, AGUA, FUEGO, TIERRA y COSMOS: 




OCTAEDRO, ocho caras que son triángulos equiláteros. Para Platón EL AIRE.

 
   



ICOSAEDRO, veinte caras que son triángulos equiláteros. EL AGUA para Platón.

 



TETRAEDRO, cuatro caras que son triángulos equiláteros. EL FUEGO para Platón. 

 

   




CUBO, seis caras que son cuadrados. Según Platón LA TIERRA.


 
 DODECAEDRO, doce caras que son pentágonos regulares. Platón lo identificó con EL COSMOS.